درباره دوره:
این درس دومین درس در زمینه آنالیز ریاضی برای دانشجویان رشته‌های «ریاضیات و کاربردها» است و پیش‌نیاز آن درس «مبانی آنالیز ریاضی» است. مرجع درس، کتاب «آنالیز ریاضی حقیقی»، تألیف چالرز چپ‌من پیو و ترجمه نوروز ایزد دوستدار است که انتشارات دانشگاه تهران آن را در سال 1392 منتشر کرده است. برای آشنایی بیشتر با کتاب مذکور این‌جا را ببینید: http://press.ut.ac.ir/book_901_آنالیز+ریاضی+حقیقی+3403.html البته ترجمه و صفحه‌آرایی این کتاب چندان مطلوب نیست.
فیلم های آموزشی:
1 – جلسه اول – مروری بر مطالب مبانی آنالیز ریاضی
2 – جلسه دوم – تعریف فضای متری و چند مثال
3 – جلسه سوم – تعریف همگرایی دنباله ها و قضایای مقدماتی
4 – جلسه چهارم – تعریف هم سان ریختی و ناوردایی توپولوژیک ، مجموعه های باز و بسته و برخی خواص آن ها
5 – جلسه پنجم – اثبات قضیه بسته بودن limS، توصیف زیرمجموعه‌های باز R, بحث در مورد زیرمجموعه‌های بسته R
6 – جلسه ششم – تعریف توپولوژیک پیوستگی، توپولوژی و ارتباط آن با فضای متری، مفاهیم بستار، درون و مرز، صورت قضیه توپولوژی القائی
7 – جلسه هفتم – مجموعه‌های باز و بسته در زیرفضا، نقاط خوشه‌ای و نقاط چگالی، فضای حاصل‌ضرب و مترهای مختلف، دنباله کوشی و فضای کامل
8 – جلسه هشتم – ادامه بحث فضای‌های کامل، تعریف فشردگی دنباله‌ای و بیان و اثبات چند قضیه مقدماتی
9 – جلسه نهم – آشیانه‌های فشرده، قضیه ماکسیمم و مینیمم، بسته مطلق و کران‌دار مطلق بودن فضاهای فشرده، توپولوژیک بودن خاصیت فشردگی و
10 – جلسه دهم – تعریف فضای هم‌بند، قضیه مقدار میانی تعمیم‌یافته،خاصیت توپولوژیک بودن همبندی
11 – جلسه یازدهم – ساختن تعریف فشردگی پوششی،تعریف پوشش باز و زیرپوشش ،لم عدد ؟ و اثبات معادل بدون فشردگی دنباله ای و پوششی
12 – جلسه دوازدهم – ادامه بحث در مورد هم بندی ،چند صورت برای تعریف همبندی ، تعریف همبندی مسیری و بررسی رابطه بین همبندی و همبندی مسی
13 – جلسه سیزدهم – حل چند مساله جدید
14 – جلسه چهاردهم – تعریف کران داری کل، تعمیم قضیه هاتیه -بول، تقریف فضای متریک تام و بیان و اثبات قضیه در مورد آن
15 – جلسه پانزدهم – مجموعه های کانتوری، تعریف مجموعه های کانتور و اثبات برخی خواص آن، تصویر پیوسته کانتور و خم های فضاپرکن
16 – جلسه شانزدهم – تکمیل بحث در مورد فضاهای کانورتوری، یادآوری مطالب تکراری مشتق، تعریف فضاهای هموار،توابع تحلیلی و معرفی تابعی که
17 – جلسه هفدهم – تکمیل اثبات مسایل ناقص قبل، قضیه کامل سازی فضاهای متری
18 – جلسه هیجدهم – قضیه تقریب سازی تیلور،تعریف انتگرال ریمان و داربو
19 – جلسه نوزدهم – مثال از توبع دیریکله،خط کش،پلکانی زنو،بحث در مورد پارادوکس زنو در مورد عدم امکان حرکت،تعریف مجموعه پوچ،بیان صورت
20 – جلسه بیستم – اثبات قضیه ریمان لبگ و بیان چند نتیجه آن
21 – جلسه بیست و یکم – بیان چند قضیه در مورد انتگرال پذیری، قضیه اساسی حسابان ومثال پلکان شیطان
22 – جلسه بیست و دوم – همگرایی نقطه ای و یکنواخت و ارتباط بین آن ها، تعریف متریک یکنواخت، ارتباط پیوستگی و همگرایی یکنواخت، کامل بود
23 – جلسه بیست و سوم – همگرایی یکنواخت و انتگرال ریمان، قضایای همگرایی، مثالی درمورد همگرایی نقطه ای و انتگرال ریمان، همگرایی ریمان
24 – جلسه بیست و چهارم – ادامه بحث درمورد همگرایی بکنواخت و مشتق، سری توانی و همگرایی یکنواخت، مشتق گیری و انتگرال گیری از سری توانی
25 – جلسه بیست و پنجم – بحث در مورد ارتباط همگرایی بکنواخت و هم پیوستگی، بیان صورت قضایای آرزلا،اسکولی و هانیه برل برای فضای تابعی
26 – جلسه بیست و ششم – قضیه آرزلا-اسکولی،صورت قضیه تقریب وایرشتراوس، چند کلمه در مورد قضیه اعداد بزرگ
27 – جلسه بیست و هفتم – تعریف دنباله های دیراک، اثبات قضیه به کمک دنباله دیراک
28 – جلسه بیست و هشتم – اثبات احتمالاتی برای قضیه تقریب وابرشتراوس، بیان ایده های اثبات سوم با کمک تابع قدرمطلق
